Советы

Как работать с линейными системами в Python с помощью scipy.linalg

Библиотека Python SciPy – это набор удобных функций, построенных на NumPy и математических алгоритмах.

  • В настоящее время библиотека SciPy поддерживает интеграцию, градиентную оптимизацию, специальные функции, средства решения обыкновенных дифференциальных уравнений, инструменты параллельного программирования и многое другое. Другими словами, мы можем сказать, что если что-то есть в общем учебнике числовых вычислений, высока вероятность того, что вы найдете его реализацию в SciPy.
  • Интерактивный сеанс с SciPy – это, по сути, среда обработки данных и прототипирования системы, такая же, как MATLAB, Octave, Scilab или R-lab.
  • SciPy – это проект с открытым исходным кодом, выпущенный под лицензией BSD.

Почему SciPy?

  • SciPy предоставляет высокоуровневые команды и классы для управления данными и визуализации данных, что значительно увеличивает мощность интерактивного сеанса Python.
  • Помимо математических алгоритмов в SciPy, программисту доступно все, от классов, веб-подпрограмм и баз данных до параллельного программирования, что упрощает и ускоряет разработку сложных и специализированных приложений.
  • Поскольку SciPy имеет открытый исходный код, разработчики по всему миру могут вносить свой вклад в разработку дополнительных модулей, что очень полезно для научных приложений, использующих SciPy.

Установка библиотеки SciPy

Мы обсудим некоторые основные функции и важные особенности SciPy, но перед установкой SciPy. Мы можем установить пакеты SciPy, просто используя pip, выполните следующую команду в терминале (добавьте sudo, если необходимо):

pip install scipy

Чтобы установить этот пакет с помощью conda run:

conda install -c anaconda scipy

Импорт

Чтобы начать использовать Scipy в наших проектах python, мы просто импортируем Scipy как:

import scipy

Взаимодействие с Numpy

Как мы уже знаем, SciPy построен на NumPy, поэтому для всех основных нужд мы можем использовать сами функции NumPy:

import numpy

Функции из numpy и numpy.lib.scimath также содержатся в SciPy, но рекомендуется использовать их напрямую, а не проходить через SciPy в этом случае.

Работа с polynomial

В SciPy есть два способа работы с polynomial. Первый использует класс poly1d. Этот класс принимает коэффициенты или корни для инициализации и формирует полиномиальный объект. Когда мы печатаем этот объект, мы видим, что он напечатан, как polynomial. Давайте посмотрим на пример кода:

from numpy import poly1d

# We'll use some functions from numpy remember!!
# Creating a simple polynomial object using coefficients
somePolynomial = poly1d([1,2,3])

# Printing the result
# Notice how easy it is to read the polynomial this way
print(somePolynomial)

# Let's perform some manipulations
print(»
Squaring the polynomial:
«)
print(somePolynomial* somePolynomial)

#How about integration, we just have to call a function
# We just have to pass a constant say 3
print(»
Integrating the polynomial:
«)
print(somePolynomial.integ(k=3))

#We can also find derivatives in similar way
print(»
Finding derivative of the polynomial:
«)
print(somePolynomial.deriv())

# We can also solve the polynomial for some value,
# let's try to solve it for 2
print(»
Solving the polynomial for 2:
«)
print(somePolynomial(2))

Как работать с линейными системами в Python с помощью scipy.linalg

Другой способ работы с polynomial – использовать массив коэффициентов. Существуют функции, доступные для выполнения операций с polynomial, представленными в виде последовательностей, первый метод выглядит намного проще в использовании и дает вывод в удобочитаемой форме, поэтому я предпочитаю первый для примера.

Линейная алгебра

SciPy обладает очень быстрыми возможностями линейной алгебры, поскольку он построен с использованием библиотек ATLAS LAPACK и BLAS. Библиотеки доступны даже для использования, если вам нужна более высокая скорость, но в этом случае вам придется копнуть глубже.

Все процедуры линейной алгебры в SciPy принимают объект, который можно преобразовать в двумерный массив, и на выходе получается один и тот же тип.

Давайте посмотрим на процедуру линейной алгебры на примере. Мы попытаемся решить систему линейной алгебры, что легко сделать с помощью команды scipy linalg.solve.

Этот метод ожидает входную матрицу и вектор правой части:

# Import required modules/ libraries
import numpy as np
from scipy import linalg

# We are trying to solve a linear algebra system which can be given as:
# 1x + 2y =5
# 3x + 4y =6

# Create input array
A= np.array([[1,2],[3,4]])

# Solution Array
B= np.array([[5],[6]])

# Solve the linear algebra
X= linalg.solve(A,B)

# Print results
print(X)

# Checking Results
print(»
Checking results, following vector should be all zeros»)
print(A.dot(X)-B)

Как работать с линейными системами в Python с помощью scipy.linalg

Интеграция SciPy

Подпакет интеграции scipy предоставляет различные методы интеграции. Мы можем посмотреть на них, просто набрав:

help(integrate)

Попробуем интегрировать лямбда функцию в скрипт:

# Import required packages
from scipy import integrate

# Using quad as we can see in list quad is used for simple integration
# arg1: A lambda function which returns x squared for every x
# We'll be integrating this function
# arg2: lower limit
# arg3: upper limit
result= integrate.quad(lambda x: x**2, 0,3)
print(result)

Как работать с линейными системами в Python с помощью scipy.linalg

Преобразование Fourier

Анализ Fourier помогает нам выразить функцию, как сумму периодических компонентов и восстановить сигнал из этих компонентов.

Давайте посмотрим на простой пример преобразования Fourier. Мы будем строить сумму двух синусов:

# Import Fast Fourier Transformation requirements
from scipy.fftpack import fft
import numpy as np

# Number of sample points
N = 600

# sample spacing
T = 1.0 / 800.0
x = np.linspace(0.0, N*T, N)
y = np.sin(50.0 * 2.0*np.pi*x) + 0.5*np.sin(80.0 * 2.0*np.pi*x)
yf = fft(y)
xf = np.linspace(0.0, 1.0/(2.0*T), N//2)

# matplotlib for plotting purposes
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(xf, 2.0/N * np.abs(yf[0:N//2]))
plt.grid()
plt.show()

Как работать с линейными системами в Python с помощью scipy.linalg

Специальные функции

В специальном подпакете SciPy есть определения множества функций математической физики. Доступны следующие функции: эри, Бессель, бета, эллиптическая, гамма, гипергеометрическая, Кельвина, Матье, параболический цилиндр, сфероидальная волна и струве. Давайте посмотрим на функцию Бесселя.

Функции Бесселя – это семейство решений дифференциального уравнения Бесселя с вещественным или комплексным порядком альфа.

Давайте лучше рассмотрим это на примере, пример представляет собой круглый барабан, закрепленный на краю:

# Import special package
from scipy import special
import numpy as np
def drumhead_height(n, k, distance, angle, t):
kth_zero = special.jn_zeros(n, k)[-1]
return np.cos(t) * np.cos(n*angle) * special.jn(n, distance*kth_zero)
theta = np.r_[0:2*np.pi:50j]
radius = np.r_[0:1:50j]
x = np.array([r * np.cos(theta) for r in radius])
y = np.array([r * np.sin(theta) for r in radius])
z = np.array([drumhead_height(1, 1, r, theta, 0.5) for r in radius])

# Plot the results for visualization
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import cm
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.plot_surface(x, y, z, rstride=1, cstride=1, cmap=cm.jet)
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
plt.show()

Как работать с линейными системами в Python с помощью scipy.linalg

Некоторые функции, такие как функция бинарной энтропии, функция шага Хевисайда и функция линейного изменения, легко реализовать с помощью существующих функций NumPy и SciPy и, следовательно, не включены в этот пакет.

Вывод

В этом посте мы разобрали библиотеку SciPy в Python для простых и эффективных математических операций.

Мы узнали, что это обширная библиотека, используемая для разработки научных приложений, и в которой необходимо выполнять сложные математические операции, например, в машинном или глубоком обучении. Мы также узнали, как пакет scipy помогает нам в выполнении различных математических операций.

SciPy Linear Algebra — SciPy Linalg

The SciPy package includes the features of the NumPy package in Python. It uses NumPy arrays as the fundamental data structure. It has all the features included in the linear algebra of the NumPy module and some extended functionality. It consists of a linalg submodule, and there is an overlap in the functionality provided by the SciPy and NumPy submodules.

Let’s discuss some methods provided by the module and its functionality with some examples.

The linalg.solve function is used to solve the given linear equations. It is used to evaluate the equations automatically and find the values of the unknown variables.

Читайте также:  Руки прочь: автоматизация ручных задач с помощью GitHub Actions

Syntax: scipy.linalg.solve(a, b, sym_pos, lower, overwrite_a, overwrite_b, debug, check_finite, assume_a, transposed)

Let’s consider an example where two arrays a and b are taken by the linalg.solve function. Array a contains the coefficients of the unknown variables while Array b contains the right-hand-side value of the linear equation. The linear equation is solved by the function to determine the value of the unknown variables. Suppose the linear equations are:

7x + 2y = 8
4x + 5y = 10

  • from scipy import linalg
  • import numpy as np
  • a = np.array([[7, 2], [4, 5]])
  • b = np.array([8, 10])
  • res = linalg.solve(a, b)
  • print(res)

Output:

[0.74074074 1.40740741]

The scipy.linalg.inv is used to find the inverse of a matrix.

Syntax: scipy.linalg.inv(a , overwrite_a , check_finite)

Parameters:

  • a: It is a square matrix.
  • overwrite_a (Optional): Discard data in the square matrix.
  • check_finite (Optional): It checks whether the input matrix contains only finite numbers.

Returns:

  • scipy.linalg.inv returns the inverse of the square matrix.

Consider an example where an input x is taken by the function scipy.linalg.inv. This input is the square matrix. It returns y, which is the inverse of the matrix x. Let the matrix be –

Как работать с линейными системами в Python с помощью scipy.linalg

  1. from scipy import linalg
  2. import numpy as np
  3. x = np.array([[7, 2], [4, 5]])
  4. y = linalg.inv(x)
  5. print(y)

Output:

[[ 0.18518519 -0.07407407]
[-0.14814815 0.25925926]]

To evaluate the (Moore-Penrose) pseudo-inverse of a matrix, scipy.linalg.pinv is used.

Syntax: scipy.linalg.pinv(a , cond , rcond , return_rank , check_finite)

Parameters:

  • a: It is the Input Matrix.
  • cond, rcond (Optional): It is the cutoff factor for small singular values.
  • return_rank (Optional): It returns the effective rank of the matrix if the value is True.
  • check_finite (Optional): It checks if the input matrix consists of only finite numbers.

Returns:

  • scipy.linalg.pinv returns the pseudo-inverse of the input matrix.

Example: The scipy.linalg.pinv takes a matrix x to be pseudo-inverted. It returns the pseudo-inverse of matrix x and the effective rank of the matrix.

  • from scipy import linalg
  • import numpy as np
  • x = np.array([[8 , 2] , [3 , 5] , [1 , 3]])
  • y = linalg.pinv(x)
  • print(y)

Output:

Finding the Determinant of a Matrix

The determinant of a square matrix is a value derived arithmetically from the coefficients of the matrix. In the linalg module, we use the linalg.det() function to find the determinant of a matrix.

Syntax: scipy.linalg.det(a , overwrite_a , check_finite)

Parameters:

  • a: It is a square matrix.
  • overwrite_a (Optional): It grants permission to overwrite data in a.
  • check_finite (Optional): It checks if the input square matrix consists of only finite numbers.

Returns:

The scipy.linalg.det takes a square matrix A and returns D, the determinant of A. The determinant is a specific property of the linear transformation of a matrix. The determinant of a 2×2 matrix is given by:

From the above Python code, the determinant is calculated as:

Example:

  1. from scipy import linalg
  2. import numpy as np
  3. A = np.array([[9 , 6] , [4 , 5]])
  4. D = linalg.det(A)
  5. print(D)

Output:

21.0

Singular Value Decomposition

The Singular-Value Decomposition is a matrix decomposition method for reducing a matrix to its constituent parts to make specific subsequent matrix calculations simpler. It is calculated using scipy.linalg.svd.

Syntax: scipy.linalg.svd(a , full_matrices , compute_uv , overwrite_a , check_finite , lapack_driver)

Parameters:

  • a: The input matrix.
  • full_matrices (Optional): If True, the two decomposed unitary matrices of the input matrix are of shape (M, M), (N, N).
  • compute_uv (Optional): The default value is True.
  • overwrite_a (Optional): It grants permission to overwrite data in a.
  • check_finite (Optional): It checks if the input matrix consists of only finite numbers.
  • lapack_driver (Optional): It takes either the divide-and-conquer approach (‘gesdd’) or general rectangular approach (‘gesvd’).

The function scipy.linalg.svd takes a matrix M to decompose and returns:

  1. A Unitary matrix having left singular vectors as columns.
  2. The singular values sorted in non-increasing order.
  3. A unitary matrix having right singular vectors as rows.

Example:

  • from scipy import linalg
  • import numpy as np
  • M = np.array([[1 , 5] , [6 , 10]]) 
  • x , y , z = linalg.svd(M)
  • print(x , y , z)

Output:

Как работать с линейными системами в Python с помощью scipy.linalg

Eigenvalues and EigenVectors

Let M be an n×n matrix and let X∈Cn be a non-zero vector for which:

MX = λX for some scalar λ.

λ is called an eigenvalue of the matrix M and X is called an eigenvector of M associated with λ, or a λ-eigenvector of M.

Syntax: scipy.linalg.eig(a , b , left , right , overwrite_a , overwrite_b , check_finite , homogeneous_eigvals)

Parameters:

  • a: Input matrix.
  • b (Optional): It is a right-hand side matrix in a generalized eigenvalue problem.
  • left, right (Optional): Whether to compute and return left or right eigenvectors respectively.
  • overwrite_a, overwrite_b (Optional): It grants permission to overwrite data in a and b respectively.
  • check_finite (Optional): It checks if the input matrix consists of only finite numbers.
  • homogeneous_eigvals (Optional): It returns the eigenvalues in homogeneous coordinates if the value is True.

The function scipy.linalg.eig takes a complex or a real matrix M whose eigenvalues and eigenvectors are to be evaluated. It returns the scalar set of eigenvalues for the matrix. It finds the eigenvalues and the right or left eigenvectors of the matrix.

Example:

  1. from scipy import linalg
  2. import numpy as np
  3. M = np.array([[9 , 3] , [2 , 4]])
  4. val , vect = linalg.eig(M)
  5. print(val)
  6. print(vect)

Output:

Calculating the norm

To define how close two vectors or matrices are, and to define the convergence of sequences of vectors or matrices, the norm is used. The function scipy.linalg.norm is used to calculate the matrix or vector norm.

Syntax: scipy.linalg.norm(a , ord , axis , keepdims , check_finite)

Parameters:

  • a: It is an input array or matrix.
  • ord (Optional): It is the order of the norm
  • axis (Optional): It denotes the axes.
  • keepdims (Optional): If the value is True, the axes which are normed over are left in the output as dimensions with size=1.
  • check_finite (Optional): It checks if the input matrix consists of only finite numbers.

Returns:

  • scipy.linalg.norm returns the norm of a.

The function scipy.linalg.norm returns one of the seven different matrix norms or one of an infinite number of vector norms. 

  1. The L2 norm evaluates the distance of the vector coordinate from the origin of the vector space. It is also known as the Euclidean norm as it is calculated as the Euclidean distance from the origin. The result is a positive distance value.
  2. The L1 norm is evaluated as the sum of the absolute vector values. It is an evaluation of the Manhattan distance from the origin of the vector space.

Example:

  • from scipy import linalg
  • import numpy as np
  • x = np.array([6 , 3])
  • a = linalg.norm(x)
  • b = linalg.norm(x , 1)
  • print(a)
  • print(b)

Output:

More Matrix Functions

Function Name
Definition
scipy.linalg.sqrtm(A, disp, blocksize) Finds the square root of the matrix.
scipy.linalg.expm(A) Computes the matrix exponential using Pade approximation.
scipy.linalg.sinm(A) Computes the sine of the matrix.
scipy.linalg.cosm(A) Computes the cosine of the matrix.
scipy.linalg.tanm(A) Computes the tangent of the matrix.

Example:

  1. from scipy import linalg
  2. import numpy as np
  3. x = np.array([[16 , 4] , [100 , 25]])
  4. r = linalg.sqrtm(x)
  5. print(r)
  6. print(»
    «)
  7. e = linalg.expm(x)
  8. print(e)
  9. print(»
    «)
  10. s = linalg.sinm(x)
  11. print(s)
  12. print(»
    «)
  13. c = linalg.cosm(x)
  14. print(c)
  15. print(»
    «)
  16. t = linalg.tanm(x)
  17. print(t)
Читайте также:  Как сформировать новую привычку и избавиться от старой. Завести полезную привычку

Output:

Вычислительные задачи

Для решение более содержательных математических задач существует модуль scipypip.

Решение уравнений

В случае одной переменной

import scipy.optimize

def foo(x):
y = 4*x+6
return y

# Найдем решение foo(x) = 0
# с начальным приближением x = 0
optobj = scipy.optimize.root(foo, 0)

if optobj.success:
print(«x = «, optobj.x)
import scipy.

optimize

def func(d):
x,y = d
f1 = 2*x + 3*y
f2 = -x**2 + 3
return (f1,f2)

# Найдем решение foo(x,y) = 0
# с начальным приближением x = 5, y = 5
optobj = scipy.optimize.root(func, (5,5))

if optobj.success:
print(«x = «, optobj.x)
# [ 1.73205081 -1.15470054]
import scipy.

optimize

def f(c):
x, y = c
return 0.5*(1 — x)**2 + (y — x**2)**2

# Выполним минимизацию f(x,y) -> min
# с начальным приближением x = 2, y = -1
optobj = scipy.optimize.minimize(f, [2, -1])

if optobj.success:
print(«x = «, optobj.x)
# [ 0.99999991, 0.99999979]
import scipy.

linalg

# Решаем систему Ax=B

# Переопределенная система
m = [[ 1, 3, 4],
[ 2, -3, 1],
[ -3, -4, 8],
[1.1, 2.9, 4.1]]
A = np.array(m)

B = array([ 0. , 1. , 2. , 0.1])

x, res, rnk, s = scipy.linalg.lstsq(A,B)

#x == array([ 0.07299771, -0.23112712, 0.

16181287])

Функция возвращает кортеж, важнейшие поля: значение, сумма ошибок и эффективный ранг матрицы,

import scipy.optimize

def foo(x, a, b, c):
return a*x**2+b*x+c

xdata = [0,2,4,6]
ydata = [6.1,9.9,29,65]

popt, pcov = scipy.optimize.curve_fit(foo, xdata, ydata)
# popt == array([ 2.0125, -2.285 , 6.18 ])

Поиск происходит методом наименьших квадратов. Важный аргумент bounds принимает кортеж из двух списков. Содержит минимальные и максимальные ограничения для значений аргументов.

import numpy as np
from scipy import signal

# Исходный сигнал
data = …

#Фильтр Баттерворта

fs = 5 # Частота сигнала герцах
fc = 0.05 # Частота отсечения
# Частота в единицах отсчетов
# (одна для НЧ и ВЧ или кортеж из двух для полосового и режекторного фильтра)
w = fc / (fs / 2)
# Синтез НЧ фильтра 5-го порядка
b, a = signal.butter(5, w, 'low')
filtered = signal.filtfilt(b, a, data)

import numpy as np

# Исходный зашумленный сигнал
rys = np.array(…)

# Окно сглаживания
window_len = 45

# Формируем полуокна для предотвращения краевых эффектов
lead_0 = rys[0]
lead = rys[window_len//2-1:0:-1]
tail_0 = rys[-1]
tail = rys[-2:-window_len//2-2:-1]
# Дополняем ряд данных полуокнами как четными функциями
ds = np.r_[lead, rys , tail]

# Дополняем ряд данных полуокнами как нечетными функциями
ds = np.r_[2*lead_0-lead, rys , 2*tail_0-tail]

# Выбираем оконную функцию
w = np.hanning(window_len)

# Выполняем свертку
rzlt = np.convolve(w/w.sum(), ds, mode='valid')

Как работать с линейными системами в Python с помощью scipy.linalg

Будем рассматривать случаи получения функции в неявном виде.

В случае одной переменной

Метод interp1d возвращает функцию от одной переменной.

import scipy.interpolate
x = np.arange(0, 10)
y = 2*x**3-16*x**2
foo = scipy.interpolate.interp1d(x, y)

foo(0.2)
# array(-2.8000000000000003)

В случае нескольких переменных необходимо сначала выполнить гридинг — получение значений функции на регулярной сетке (метод griddata), а после этого воспользоваться классом RegularGridInterpolator.

from scipy.interpolate import RegularGridInterpolator
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def func(x, y):
return 8*x**2-y**3

xi = np.arange(-5,5,0.2)
yi = np.arange(-2,2,0.1)

grid_x, grid_y = np.meshgrid(xi, yi, indexing='ij')

#Прямой расчет на сетке
data = func(grid_x, grid_y)

# Гридинг нерегулярных данных

#Нерегулярная сетка
xs = np.random.uniform(-5, 5, 50)
ys = np.random.uniform(-2, 2, 50)

#Значение в точках
values = func(xs, ys)

# Линейная интерполяция на нерегулярной сетке
baz = scipy.interpolate.LinearNDInterpolator(np.rollaxis(np.array([xs,ys]), 1), values)
plt.imshow(baz((grid_x, grid_y)), extent=[-5,5,-2,2], origin='lower')

# Значения на регулярной сетке
data = scipy.interpolate.griddata(np.rollaxis(np.array([xs,ys]), 1), values, (grid_x, grid_y))

# Интерполяция
foo = RegularGridInterpolator((xi,yi),data)

# точки
plt.scatter(xs, ys)

# исходное поле
plt.imshow(func(grid_x, grid_y), extent=[-5,5,-2,2], origin='lower')

# полученное поле на регулярной сетке
plt.imshow(data, extent=[-5,5,-2,2], origin='lower')

# результат интерполяции
plt.imshow(foo((grid_x, grid_y)), extent=[-5,5,-2,2], origin='lower')

Отличие от других методов интерполяции — наилучшее линейное несмещенное предсказание промежуточных значений. В scipy криггинга нет, но он есть в пакете pykrigepip.

from pykrige.uk import UniversalKriging
import numpy as np

# Значения в точках : x, y, value
data = np.array([[0.3, 1.2, 0.47],
[1.9, 0.6, 0.56],
[1.1, 3.2, 0.74],
[3.3, 4.4, 1.47],
[4.7, 3.8, 1.74]])

gridx = np.arange(0.0, 5.5, 0.5)
gridy = np.arange(0.0, 5.5, 0.5)

# Подготовка объекта кригинга
UK = UniversalKriging(data[:, 0], data[:, 1], data[:, 2],
variogram_model='linear',
drift_terms=['regional_linear'])

# Кригинг
z, ss = UK.execute('grid', gridx, gridy)
from scipy import stats

# data — массив измерений
# В данном примере одномерный, но многомерные тоже поддерживаются

kde = stats.gaussian_kde(data)

x_grid = np.linspace(min(data),max(data), 1000)

kde_vals = kde.evaluate(x_grid)

plt.hist(data, bins=50, density=True)
plt.plot(x_grid,kde_vals)
plt.show()

Будем разлагать значения сигнала на сетке в спектр с помощью быстрого преобразования Фурье.

from scipy.fftpack import fft

x = np.linspace(0.0, 2, 600)
y = np.sin(50.0 * 2.0*np.pi*x) + 0.5*np.sin(80.0 * 2.0*np.pi*x)
yf = fft(y)

# Наблюдаем пик частоты
print(np.abs(yf[98:103]))
# [ 22.16734211 41.08774858 286.55468064 57.27069359 25.9449835 ]

Помимо численных расчетов для Python существует достаточно простая система символьной математики sympypip.

from sympy import Symbol

x = sympy.Symbol('x')
y = sympy.Symbol('y')

# Важно! eq не значение выражения справа,
# а специальный объект типа sympy.equation
eq = y**2+x

eq.subs(x,2).subs(y,3).evalf()
# 11.0000000000000

eq2 = 1/( (x + 2)*(x + 1) )

sympy.apart(eq2, x)
# -1/(x + 2) + 1/(x + 1)
import sympy
from sympy import oo, Symbol

x = Symbol(«x»)

# Предел
sympy.limit(sympy.sin(x)/x, x, 0)
# 1

# Производная
sympy.diff(sympy.tan(x), x)
# tan(x)**2 + 1

# Сумма ряда
sympy.summation(1/2**i, (i, 0, oo))
# 2

# Первообразная
sympy.integrate(2*x + sympy.sinh(x), x)
# x**2 + cosh(x)

Важно: при использовании символьных вычислений нужно использовать функции библиотеки sympy, а не стандартной библиотеки Python или NumPy/SciPy.

Linear algebra with Scipy module in Python

In this tutorial, you are going to learn about the linalg (linear algebra) which is the sub package of Scipy module in Python. Scipy module is an inbuilt library that will help us to do the scientific computation. It is easy to use and understand. It has the fast computational power and can work on the numpy arrays too.

Linear algebra with Scipy module

For using the linalg in python, you have to import this module.

from scipy import linalg

So let’s learn Linear algebra with Scipy module in Python with examples.

Solving linear equations with Scipy

Linear equations are those equations which when plotted on the graph gives a straight line. The linear equation is of the form a*x+b*y=z .
For ex: We have two equations in the code:
2x+3y=10
4x-y=6
which we solved manually gives us the x=2 and y=2.

The linalg of scipy has the method solve() which computes the equations and gives the value of x and y in an array. The first value in the array is x and the second one is y.

from scipy import linalg
# These are the two linear equations
# 2x+3y=10
# 4x-y=6

a=[[2, 3], [4, -1]]
b=[10, 6]
print(«The value of x and y is:»)
print(linalg.solve(a,b))

Output:-

The value of x and y is:
[2. 2.]

Note: While doing matrix multiplication, always keep in mind that both the matrix should follow the rule of multiplication. In the above equation the matrix b is of a type 1×2 and a is of a type 2×2 matrix. Therefore, both the equations are compatible and the resultant matrix is of a type 1×2.

Find inverse of the matrix with Scipy

The inverse of a matrix can only be found when the matrix is a square matrix.
For ex: arr is a square matrix of a type 3×3. So, the inverse of the matrix can be found with the help of inv() method.

import scipy.linalg as alg
import numpy as np
arr=np.array([[1,2,3],[-1,1,3],[3,2,-5]])
print(«Inverse of the 3×3 matrix is:»)
print(alg.inv(arr))

Output:-

Inverse of the 3×3 matrix is:
[[ 0.61111111 -0.88888889 -0.16666667]
 [-0.22222222 0.77777778 0.33333333]
 [ 0.27777778 -0.22222222 -0.16666667]]

Find the determinant of the matrix with Scipy

The determinant of the matrix can be found with the help of det() method.

import scipy.linalg as alg
import numpy as np
arr=np.array([[1,2,3],[-1,1,3],[3,2,-5]])
print(» The determinant of the matrix is:»)
print(alg.det(arr))

Читайте также:  Создание собственного ИИ-бота на Python за 33 строчки кода

Output:-

The determinant of the matrix is:
-18.0

Find the eigenvalue and eigenvector with Scipy

The eigen value and eigen vector can be found with the help of eig() method. It gives the value of both the parameters. The first value is eigen value and the other one  is the eigen vector.

import scipy.linalg as alg
import numpy as np
arr=np.array([[1,2,3],[-1,1,3],[3,2,-5]])
egval, egvect=linalg.eig(arr)
Print(«The eigen values are:»)
print(egval)
print(«The eigen vectors are:»)
print(egvect)

Output:-

The eigen values are:
[-6.69041576+0.j, 2.69041576+0.j, 1. +0.j]
The eigen vectors are:
[[ 0.24875735, 0.90258683, -0.85714286],
 [ 0.37990278, 0.16885907, 0.42857143],
 [-0.89095099, 0.39600962, -0.28571429]]

  • Check out the other tutorials on Python:
  • Function argument in Python
  • Python program to create a simple chat box.

Решение системы линейных неравенств в Python с помощью простого способа и кодовых примеров

Система линейных неравенств — это набор уравнений, где каждое уравнение содержит неизвестную переменную с коэффициентом, который может быть положительным или отрицательным числом.

Такие системы являются важным инструментом в математике и науке, и могут быть решены с помощью Python.

В этой статье мы рассмотрим простой способ решения систем линейных неравенств, а также приведем примеры кода.

Python — это мощный и гибкий язык программирования, который имеет большое количество модулей и библиотек. Он может быть использован для решения различных задач, и в том числе для решения систем линейных неравенств.

Решение системы линейных неравенств может быть важной задачей, например, в экономике или в науке о климате. Поэтому знание способов решения таких систем может быть полезным для людей, занимающихся этими областями.

В этой статье мы рассмотрим простой способ решения систем линейных неравенств, который можно использовать в Python. Мы также представим несколько примеров кода, которые покажут, как использовать этот подход для решения систем линейных неравенств.

Решение системы линейных неравенств в Python

Для решения системы линейных неравенств в Python можно использовать библиотеку NumPy. Она предоставляет функцию numpy.linalg.solve, которая может решать как системы линейных уравнений, так и системы линейных неравенств.

https://www.youtube.com/watch?v=4x2zfg6x4ls\u0026pp=ygVp0JrQsNC6INGA0LDQsdC-0YLQsNGC0Ywg0YEg0LvQuNC90LXQudC90YvQvNC4INGB0LjRgdGC0LXQvNCw0LzQuCDQsiBQeXRob24g0YEg0L_QvtC80L7RidGM0Y4gc2NpcHkubGluYWxn

Для решения системы линейных неравенств существуют два подхода: графический и аналитический. В графическом подходе необходимо построить графики левой и правой частей каждого уравнения, а затем найти общую область, удовлетворяющую всем неравенствам. В аналитическом подходе система неравенств решается с использованием матриц и методов решения систем линейных уравнений.

Если решение необходимо представить в явном виде, необходимо использовать функцию numpy.allclose, с помощью которой можно проверить, является ли полученный ответ корректным.

  • Приведем пример кода для решения системы линейных неравенств с помощью NumPy:
  • import numpy as np
  • # Создаем матрицу системы неравенств
  • A = np.array([[1, 2], [-4, 5], [3, -6]])
  • b = np.array([1, 3, 2])
  • # Решаем систему неравенств

x = np.linalg.solve(A, b)

  1. # Выводим решение
  2. print(x)
  3. # Проверяем корректность решения

print(np.allclose(np.dot(A, x), b))

  • Результат работы программы:
  • True
  • Как видно из результата, решение системы линейных неравенств корректное и удовлетворяет всем условиям неравенств.

[ 0.77777778 0.44444444]

Что такое система линейных неравенств?

Система линейных неравенств — это набор неравенств, в котором переменные могут принимать только действительные числа. Каждое неравенство представляет собой линейное уравнение вида ax + by + cz + … + k < math>0

, где a, b, c, … — коэффициенты, а x, y, z, … — переменные.

Решение системы линейных неравенств — это набор значений переменных, которые удовлетворят всем неравенствам системы. В зависимости от числа переменных и неравенств, решение может быть конечным или бесконечным.

Системы линейных неравенств используются в различных областях математики и ее приложений, включая экономику, физику, биологию и т.д. В программировании системы линейных неравенств часто используются при решении задач оптимизации и планирования ресурсов.

Как решить систему линейных неравенств в Python?

Для решения системы линейных неравенств в Python необходимо использовать библиотеку SymPy. SymPy — это символьная математическая библиотека для Python, которая позволяет работать с математическими выражениями, символами и функциями.

Сначала необходимо импортировать библиотеку SymPy. Это можно сделать с помощью следующей команды:

from sympy import *

Далее нужно определить переменные, которые будут использоваться в системе линейных неравенств. Это можно сделать с помощью функции symbols(). Например, для определения переменных x, y и z используется следующий код:

x, y, z = symbols('x y z')

После этого можно записать систему линейных неравенств в символьном виде. Например, система неравенств

  • 3x + 2y — z >= 1
  • x — y + 2z >= 3
  • 2x + y — 4z

может быть записана следующим образом:

system = [3*x + 2*y — z >= 1, x — y + 2*z >= 3, 2*x + y — 4*z

Для решения системы линейных неравенств можно использовать функцию solve(). Эта функция возвращает список решений системы. Например, для решения системы, определенной выше, используется следующий код:

solutions = solve(system)

Если система имеет более одного решения, то результатом будет список решений. В противном случае результатом будет символьное выражение.

Таким образом, решение системы линейных неравенств в Python не является сложной задачей, если правильно использовать библиотеку SymPy и знать основы символьных вычислений.

Метод решения симплекс-алгоритмом

Симплекс-алгоритм – это метод решения системы линейных уравнений и неравенств. Этот метод основывается на итеративном подходе, где на каждом шаге выбирается базис, который является признаком оптимума. Цель метода – найти такие значения переменных, чтобы функция цели была максимальной или минимальной, в зависимости от задачи.

Симплекс-алгоритм является одним из наиболее эффективных методов решения линейных задач оптимизации. В основе его работы лежит таблица, которая состоит из базисных и свободных переменных и коэффициентов системы линейных неравенств. Алгоритм заключается в применении преобразований к этой таблице, пока не будет найдено оптимальное решение.

Хотя данный метод является эффективным, он может быть весьма сложным для понимания и реализации, особенно при работе с большим количеством переменных. Для решения системы линейных неравенств в Python более простым способом можно воспользоваться библиотекой SciPy, которая обеспечивает доступ к множеству численных методов оптимизации, включая симплекс-метод.

В заключение, можно отметить, что симплекс-алгоритм является основой для многих других методов оптимизации. Это один из наиболее распространенных методов, используемых в экономике, инженерии и науке в целом, в том числе для решения задач линейного программирования.

Пример использования библиотеки SciPy

Библиотека SciPy (Scientific Python) — это набор математических алгоритмов и функций для Python. Она включает в себя множество модулей, позволяющих решать задачи науки и инженерии.

  1. Для использования SciPy в Python нужно выполнить команду импорта:
  2. import scipy
  3. В качестве примера можно рассмотреть задачу численного поиска минимума функции. Для решения этой задачи можно использовать функцию minimize_scalar:
  4. from scipy.optimize import minimize_scalar
  5. def f(x):
  6. return x**2 + 2*x + 1
  7. result = minimize_scalar(f)
  8. print(result)

В данном примере мы импортируем функцию minimize_scalar из модуля scipy.optimize и определяем функцию f. Далее вызываем minimize_scalar с функцией f и получаем объект результатов. Наконец, выводим результаты.

Кроме решения задач оптимизации, SciPy также позволяет решать задачи линейной алгебры, интеграла, дифференциальных уравнений и многих других.

В целом, SciPy является полезным инструментом для решения задач высокой математики и физики с помощью Python.

Примеры кода решения системы линейных неравенств в Python

  • Решение системы линейных неравенств в Python может быть реализовано с помощью библиотеки NumPy. Рассмотрим пример:
  • import numpy as np
  • # Дана система линейных неравенств Ax

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *