Можно заниматься машинным обучением без владения математическим аппаратом — используйте готовые библиотеки, находите в интернете нужные алгоритмы под каждую задачу, применяйте их к данным. Однако, чтобы стать профессионалом, нужно понимать принципы, которые стоят за этими инструментами. Рассказываем о необходимой базе владения линейной алгеброй.

Линейная алгебра применяется для решения всех основных задач Data Science: создания и настройки моделей, тренировки нейросетей и применения аналитических систем к информации.

Программы машинного обучения фактически и представляют собой линейные функции, которым вы «скармливаете» данные, чтобы получить результат.

Этот процесс работает в обе стороны — вы можете по результату восстановить исходный материал, как в обучении без учителя, или формировать прогнозы на будущее.

Освойте профессию «Data Scientist»

Если у вас стоит задача определить взаимосвязь двух явлений, вы применяете линейную регрессию. Когда некие данные нужно распределить по классам, вам помогает регрессия логистическая.

Методы главных компонент (Principal Component Analysis) и опорных векторов (Support-Vector Machine), функции регуляризации, градиентный спуск — все эти инструменты помогают дата-сайентистам в их ежедневной работе.

Рассмотрим десять методов линейной алгебры, которые чаще всего применяют специалисты по машинному обучению и нейросетям. Всех желающих лучше разобраться в этой теме, повысить свои компетенции и привлекательность для работодателей приглашаем на наш курс по математике для Data Science.

Для большинства именно с этого начинается знакомство с Data Science — функции потерь помогают создавать рекомендательные и прогнозные системы, определять тенденции в массивах данных.

Допустим, у вас есть модель линейной регрессии, которой вы предлагаете исходные данные. Полученный результат вы сравниваете с образцом, чтобы определить, как далеко от реальности он лежит. Эта информация помогает вам оптимизировать функцию прогнозирования.

Как же подсчитать эту разницу? Для этого вы представляете эти данные в виде двух векторов и применяете к ним функцию потерь. Например, пусть ожидаемый прогноз — это вектор P, а ваши результаты — вектор E. Тогда P-E — это разница между данными, а длина этого третьего вектора и представляет собой величину ошибки.

Станьте дата-сайентистом и решайте амбициозные задачи с помощью нейросетей

При создании аналитических моделей следует избегать двух крайностей — недообучения (underfitting) и переобучения (overfitting), В первом случае алгоритм делает поспешные выводы, во втором строит функцию слишком близко к исходным данным. Истина лежит посередине, и достичь ее помогает регуляризация.

Недообучение, оптимальный результат, переобучение.

Для этого к целевой функции добавляются весовые коэффициенты. Они не позволяют функции «отвлекаться» на избыточные данные, обеспечивая нужный результат.

Бивариантный анализ позволяет изучать взаимосвязи между парами переменных. Ковариантность, которая применяется в такой работе, помогает определить линейное направление изменений в таких моделях.

Позитивная ковариантность означает, что увеличение или уменьшение одной переменной приводит к симметричному изменению другой.

Отрицательная ковариантность свидетельствует об обратном изменении — увеличение одного параметра уменьшает второй, и наоборот.

Определяя значение ковариантности, мы получаем показатель корреляции, который лежит в пределах от -1 до 1. Он объединяет в себе величину и направление линейной взаимосвязи двух переменных.

Как говорилось выше, техника SVM применяется для классификации объектов. Для этого используется концепция векторных пространств — математических структур, объединяющих множество векторов, с которым можно проводить операции сложения, вычитания и умножения.

Для решения этой задачи каждая переменная (фактически, каждый объект, который нужно отнести к тому или иному классу) выражается в виде точки в n-мерном пространстве, где n — это количество характеристик, которыми вы располагаете. Координаты каждой точки обозначают соответствующие характеристики. Далее алгоритм с помощью метода опорных векторов находит гиперплоскость, которая пролегает точно между группами наших объектов.

Поскольку таких гиперплоскостей может быть больше одной, необходимо определить такую, которая пролегает на максимально далеком расстоянии от каждого объекта. Очевидно, это обеспечивает наилучшую классификацию.

Пример метода опорных векторов на двумерном пространстве — гиперплоскость С обеспечивает требуемый результат.

Метод работает и в том случае, если объекты распределяются иным образом, например, одна группа кольцом окружает другую. Дата-сайентист преобразует одно пространство в другое, с которым далее можно проводить операции.

Преобразование пространства с помощью z = x^2 + y^2 позволяет расположить точки нужным образом

Очень часто эксперту по Data Science приходится работать с наборами данных, которые включают сотни и тысячи переменных. Большинство из них не представляют практического смысла, но даже если отсеять 99 мусорных процентов, на анализ оставшихся данных может потребоваться слишком много времени и ресурсов.

В таких случаях используются техники уменьшения размерности (dimensionality reduction), которые определяют переменные, сильнее всего влияющие на результат. Один из наиболее применимых методов для решения таких задач — метод главных компонент.

Если не углубляться в математику, достаточно сказать, что таким образом можно найти основные векторы и спроецировать остальные данные согласно им.

Если хотите узнать подробнее, почитайте о вычислении собственных векторов и собственных значений ковариационной матрицы.

Собственные векторы обозначены красными стрелками — они не меняют направление при линейном преобразовании матрицы.

Еще один способ понизить размерность без потери значительной доли ценной информации. Если у вас есть исходная матрица с большим объемом данных, вы можете разложить ее на меньшие матрицы, которые будут обладать теми же свойствами. Это отличный способ получить полезный результат в шумных условиях или в тех случаях, когда информации, напротив, не хватает.

Например, Netflix применяет SVD в своих рекомендательных системах, где объем исходной информации (количество фильмов в базе) несравнимо превышает объем информации рабочей (количество фильмов, которые посмотрел пользователь). Кроме того, таким образом оказывается удобно обрабатывать изображения и музыку, сжимая их с минимальным ущербом качеству.

Станьте дата-сайентистом и решайте амбициозные задачи с помощью нейросетей

Как нетрудно догадаться, этот метод используется для работы с текстом в NLP-системах (Natural Language Processing). Компьютеры не понимают человеческий язык, хотя в последнее время им и удается более-менее успешно производить обратное впечатление. Это становится возможным благодаря техникам «цифровизации» слов, которые переводят их семантическое значение в векторы.

Для этого используются самые разные атрибуты — количество букв в слове, теги обозначения частей речи и грамматических отношений между ними, векторные нотации и многое другое. Эти данные помещаются в n-мерное пространство, где аналитическая модель определяет между ними взаимосвязи, выстраивает контекстные цепочки и так далее.

Таким образом нейросеть может переварить некий языковой корпус и строить на его основе предложения. Собственных мыслей к компьютера нет, так что от своего лица он может только нести грамматически верную чушь. А понимать поступающие реплики и формировать ответы на них таким образом получается очень хорошо.

Когда вы читаете предложение «Я увидел каменный замок, на его воротах висел замок», вы легко распознаете значения двух омонимов.

Аналогично, вам несложно подобрать синоним к какому-либо слову — вы понимаете его значение и представляете, чем можно его заменить.

Однако компьютеру такие операции даются с трудом, и создателям NLP-продуктов приходится придумывать, как обеспечить их системе возможность понимать контекст.

В этом им снова помогает алгоритм сингулярного разложения. Они разбивают некий объем текстовых материалов на меньшие матрицы, по которым можно соотнести тему, ее контекст и употребляемые термины. Такое разложение помогает найти внутренние связи в массивном наборе текстов и понимать контекстуальное значение слов.

Вектор — это простой массив данных, матрица — двухмерный массив, а тензор объединяет n измерений, где n>2. Компьютерные системы используют эти структуры, чтобы видеть и понимать изображения.

Для передачи цвета в цифровых изображениях используется шкала RGB — Red, Green, Blue.

Когда аналитическая модель получает некую картинку, она создает тензор, который объединяет в себе три матрицы, у которых в каждой ячейке хранится цветовое значение соответствующего пикселя.

Первая такая матрица содержит значения красного, вторая — зеленого, третья — синего. Пример того, как дальше можно работать с этими данными в следующем пункте.

Напоследок рассмотрим функцию свертки, которая позволяет определять объекты на изображениях. Механика, в общем-то, напоминает работу человеческого мозга — модель запоминает некий образ, а потом внимательно рассматривает предложенную картинку, чтобы найти его среди пикселей.

Для компьютера такой образ представляет собой сумму значений пикселей, которые составляют изображение целевого объекта. Эта сумма называется ядром. Имея в своем распоряжении такое ядро, программа поочередно сравнивает его с разными участками изображения. В том участке, где совпадение оказывается максимальным, она и предполагает наличие искомого объекта.

Этот механизм также можно использовать, чтобы повысить или понизить четкость изображений, наложить на него разнообразные фильтры. Принцип один и тот же — когда нейросеть распознает определенные объекты, она может проводить с ним требуемые операции.

Data Scientist

• профессия
• 24 месяца
• Data Scientist

Дата-сайентисты решают поистине амбициозные задачи. Научитесь создавать искусственный интеллект, обучать нейронные сети, менять мир и при этом хорошо зарабатывать. Программа рассчитана на новичков и плавно введет вас в Data Science.

24 месяца

9 150 ₽/мес.

5 490 ₽/мес.

Линейная алгебра для глубокого обучения

Прежде всего, что, черт возьми, такое матрица? Ну, матрица — это «прямоугольный массив чисел». Проще говоря, матрица — это сетка, в которой каждый квадрат содержит значение.

Возможно, вы знакомы с матрицами в программировании (также известными как «массив массивов»). Например, в Java для создания матрицы можно ввести следующее: int[][] mat = new int[2][2]. Это инициализирует матрицу «2 на 2».

Вот пример матрицы «2 на 2» в математике:

Выше находится «матрица чисел». Почему я назвал это «2 на 2»? Он имеет 2 строки и 2 столбца. Так, например, эта матрица будет «3 на 2» или просто 3×2:

Кроме того, символ, обычно используемый для представления размеров матрицы, представляет собой символ всех действительных чисел: ℝ. Размеры предыдущего примера можно записать как ℝ^3×2.

Индексация

Еще одна очень распространенная операция, которую необходимо выполнить с матрицами, — это «индексация». Здесь вы можете получить одно значение из матрицы. Итак, если я назову матрицу 3×2 выше A и хочу проиндексировать первый элемент (1), я бы сказал A₁₁.

Причина, по которой я это делаю, заключается в том, что индексирование матрицы происходит по нижнему индексу, где первое число соответствует строке, а второе число соответствует столбцу элемента в матрице, которую вы хотите получить. Другой пример: предположим, я хочу проиндексировать 6 в матрице выше.

Он находится в 3-й строке и 2-м столбце, поэтому для индексации я бы сказал A₃₂ (если предположить, что моя матрица называется A).

Векторы

«Вектор» — это просто матрица, но только с одним столбцом. Можно сказать, что это матрица n x 1, потому что она может иметь столько строк (n), но только один столбец. При индексировании вектора вам нужно только одно число в нижнем индексе, которое соответствует строке числа, которое вы индексируете. Итак, если у нас есть этот вектор

тогда Y₁=1, Y₂=2 и Y₃=3.

Небольшое замечание: все индексирование, о котором я писал, называется «1-индексированием», потому что первое значение в матрице обозначается цифрой 1.

Если вы знакомы с программированием, то, скорее всего, быть знакомым с нулевой индексацией, где первое значение в массиве (или матрице) является 0-м элементом. 1-индексированные векторы/матрицы являются наиболее распространенными.

Еще одно примечание: матрицы и векторы часто по соглашению называются буквами CAPITOL.

Простые операции

Теперь приступим к выполнению операций над матрицами. С каждым простым оператором (сложение, вычитание, умножение, деление) связаны две разные матричные операции. Две матричные операции известны как «скалярная» и «поэлементная». Скалярный оператор берет число и выполняет одну операцию с каждым элементом матрицы. Например,

Это работает таким же образом для вычитания, умножения и деления с использованием скалярных значений. С поэлементными операциями вы берете две матрицы ОДИНАКОВЫХ размеров и выполняете одну операцию с каждым соответствующим элементом в каждой матрице. Например:

Вот пример, когда вы не можете выполнить поэлементную операцию, потому что две матрицы НЕ имеют одинаковых размеров:

Умножение матрицы на вектор

При умножении матрицы на вектор вы берете каждую строку матрицы и умножаете каждый элемент этой строки на соответствующий элемент в векторе, а затем добавляете их.

Вы делаете это для каждой строки в матрице, и в итоге вы получаете вектор с количеством строк в исходной матрице.

Это известно как «точечный продукт» и обозначается следующим символом: «⨂» (или без символа, например, 2x означает умножение 2 на x). Это будет иметь больше смысла, когда вы увидите этот пример:

Чтобы выполнить скалярное произведение, мы сначала берем первую строку матрицы, [1,3], и умножаем каждый элемент в ней на соответствующий элемент в векторе следующим образом:

Теперь вы складываете значения, 1+15=16. Это становится первым значением в результирующей матрице.

Теперь вы выполняете те же действия с остальными строками в матрице. Для краткости заключительные операции вынесу в матрицу:

И эта последняя матрица является ответом. Это не сложно понять, просто утомительно выполнять. Вот почему НИКТО не делает это вручную, мы используем компьютеры, чтобы сделать это за нас. В python, используя библиотеку numpy, вы можете просто сказать это, чтобы выполнить весь этот точечный продукт: numpy.dot(matrixA, matrixB).

Кроме того, поскольку операции для скалярного произведения настолько специфичны, вы не можете выполнять их только с двумя матрицами со случайными размерами, они также должны быть специфичными. Если матрица имеет размеры ℝᴹˣⁿ(m строк, n столбцов), то вектор должен иметь размеры ℝⁿˣ¹(n-мерный вектор). Тогда ответ будет вектором с размерами ℝᴹˣ¹.

Матрично-матричное умножение

Чтобы умножить матрицу на другую матрицу, нам нужно выполнить «скалярное произведение» строк и столбцов… что это значит? Ну, в предыдущем разделе мы взяли матрицу и вектор, и для каждой строки в матрице мы нашли скалярное произведение этой строки с вектором и в результате получили вектор. Для умножения матриц вы делаете то же самое, но повторяете это для каждого столбца во второй матрице, действующей как отдельные векторы.

• Это будет иметь больше смысла в примере. Чтобы найти ответ для 1-й строки и 1-го столбца результирующей матрицы в этой задаче, я должен найти скалярное произведение 1-й строкипервой матрицы и 1-й столбец второй матрицы следующим образом:
• Чтобы найти ответ для 2-й строки и 1-го столбца результирующей матрицы, я нашел скалярное произведение 2-й строки матрицы первая матрица и 1-й столбец второй вот так:
• Мы можем сделать то же самое для 1-й строки и 2-го столбца:
• А для 2-й строки и 2-го столбца:
• И, наконец, получаем:

Почему

Почему это важно знать?

Ну, если честно, если вы не занимаетесь чем-то, связанным с математикой или информатикой (машинным обучением), мне будет сложно дать вам вескую причину, по которой вам нужно это знать. Но для машинного обучения это ЧРЕЗВЫЧАЙНО полезно.

При моделировании слоев нейронной сети в программе на компьютере каждый слой может быть представлен вектором, а веса — матрицей.

Затем, когда приходит время для прямого распространения, следующий слой сети вычисляется путем скалярного произведения предыдущего слоя (вектора) и весов.

На самом деле существует множество служб облачных вычислений, к которым у вас есть доступ к компьютерам, специально разработанным для быстрого выполнения матричных операций, что значительно улучшает процесс обучения сети.

Это все, что я получил за это! Пожалуйста, не стесняйтесь, пишите мне по любым вопросам ????????

Математика для ИИ: линейная алгебра

В мире IT сейчас часто можно услышать о машинном обучении, нейронных сетях и искусственном интеллекте. И не удивительно — эти отрасли быстро развиваются и используются для решения различного рода задач.

Большинство концепций были открыты ещё 50 лет назад, и множество из них основаны на математических принципах. Поэтому у людей, пытающихся войти в данную нишу, часто возникает вопрос: «На каком уровне нужно знать математику?». Эта статья даст представление о некоторых необходимых основах, в частности, о базовых концепциях линейной алгебры.

Как программисту стать специалистом по искусственному интеллекту

Базовые термины

По сути, вся линейная алгебра вертится вокруг нескольких понятий: векторы, скаляры, тензоры и матрицы, — всё это очень важно для машинного обучения, ведь благодаря им можно абстрагировать данные и модели.

Например, каждая запись в каком-нибудь наборе данных может быть представлена в виде вектора в многомерном пространстве, а параметры нейронных сетей абстрагируются как матрицы.

Каждое из понятий по своему специфично, так что рассмотрим их подробнее.

Скаляр

Скаляр — это просто число, в отличие от вектора или матрицы. Скаляры определены как элементы поля, предназначенные для описания пространства вектора. Несколько скаляров образуют вектор. Скаляры могут быть представлены разными типами чисел: вещественными, действительными или натуральными. Обозначаются скаляры строчными и прописными буквами латинского и греческого алфавита:

Вектор

Вектор — это упорядоченный массив скаляров. Скаляры выступают в роли координат точек в пространстве. Скопление векторов становится так называемым векторным пространством. Векторы можно складывать вместе, перемножать друг на друга и масштабировать. Они обозначаются жирным шрифтом. Каждый элемент вектора имеет индекс.

Матрица

Матрица — это двумерный массив скаляров. Обозначается жирным шрифтом в верхнем регистре. Например, если говорить о матрице из вещественных чисел, где m рядов и n столбцов, записывается такая матрица вот так:Поскольку матрица — двумерный массив, элементы матрицы имеют два индекса:Две матрицы могут быть сложены или вычтены одна из другой, только если у матриц одинаковое количество рядов и столбцов. Две матрицы могут быть перемножены только тогда, когда количество столбцов первой матрицы соответствует количеству рядов второй. Например, вы можете умножить матрицу A размера m, n на матрицу B размера n, p. В результате вы получите матрицу C размера m, p. Формула умножения выглядит вот так:

Важно заметить, что матричное произведение дистрибутивно и ассоциативно:

Однако, иногда может понадобиться перемножить элементы матриц между собой. Такую операцию называют произведением Адамара (обозначается  A ∘ B). Матрицы также можно умножать на векторы и на скаляры. Интересно, что произведением матрицы и вектора будет вектор:

Тензор

Тензор — это многомерный массив чисел. Обычно в нём больше двух измерений, так что он может быть изображён как многомерная сетка, состоящая из чисел. На самом деле, матрицы — те же тензоры, только они двухмерные, вот и все их отличия. Тензоры получили известность благодаря фреймворку для машинного обучения TensorFlow.

Операции

Есть несколько операций, которые можно производить с матрицами, и знание которых пригодится для понимания принципов работы ИИ.

Транспонирование матрицы

В результате выполнения этой операции появляется так называемая транспонированная матрица.

По сути, это зеркальное отображение матрицы по главной диагональной линии, которая начинается в верхнем левом и идёт в правый нижний угол. Транспонированной матрицей от матрицы A будет матрица AT (также A′, Atr, tA или At).

Кроме того, транспонированную матрицу можно получить, записав ряды матрицы A как столбцы матрицы AT, а столбцы матрицы A — как ряды матрицы AT.

Умножение единичной матрицы на вектор

Существует такое понятие как единичная матрица. Если умножить её на вектор, значения вектора не меняются. Элементы главной диагонали единичной матрицы имеют значение 1, а все остальные равны 0:

Перед тем, как вы продолжите, немного информации о диагональной матрице (она очень похожа на единичную). Все элементы матрицы, за исключением тех, что находятся на главной диагонали, равны нулю.

Но, в отличие от единичной, на главной диагонали диагональной матрицы элементы имеют значение, не равное 1. Получается, единичная матрица — это вид диагональной матрицы.

Они очень полезны для некоторых алгоритмов.

Умножение на обратную матрицу

Обратная матрица определяется следующим образом:

Если умножить матрицу A на обратную ей матрицу A-1, получится единичная матрица. Обратная матрица похожа на обратное число. То есть для a обратным числом будет 1/a. Если обычное число умножить на обратное ему, получится единица: a * 1/a = 1. Здесь то же самое, только с матрицами. Но, увы, это работает только с квадратными матрицами.

Псевдоинверсия Мура-Пенроуза

Для неквадратных матриц нужно применять псевдоинверсию Мура-Пенроуза:Где U, D и V — сингулярное разложение матрицы A. Псевдоинверсия D+ матрицы D создаётся путём взятия элементов, обратных элементам матрицы, и её дальнейшим транспонированием.

Но будьте осторожны с концепцией обратной матрицы A-1, потому что пока что она больше используется в теории, чем на практике. Это обусловлено тем, что вычислительные способности современных компьютеров позволяют дать лишь приблизительный ответ.

Преобразование матрицы в скаляр

Бывает, что нужно преобразовать матрицу в скаляр, для этого нужно найти определитель, он обозначается det(A) или |A|. Так как преобразование возможно только с ними, вот пример с матрицей 2×2:Напоследок про линейную зависимость.

Набор векторов будет линейно зависим, если хотя бы один вектор может быть представлен как комбинация других векторов из набора. Иначе набор будет линейно независим.

Обычно векторы x и y будут линейно независимы, только если значения для скаляров a и b, удовлетворяющих ax + by = 0, будут равны a = b = 0.

Нормы

Иногда для работы с вектором нужно знать его размер. Для этого существуют специальные функции, которые называют нормами — Ln. Маленькая буква n обозначает количество измерений, в которых находится вектор. В зависимости от того, сколько измерений в вашем векторном пространстве, нормы будут разными.

Наиболее известная норма — норма двумерного пространства (Евклидова норма). Чаще всего она представляет собой Евклидово расстояние от начала вектора до точки в пространстве, находящейся на конце этого вектора.

При обобщении пространства на несколько измерений используют глобальную норму:На самом деле, нормой может быть любая функция, удовлетворяющая следующим требованиям:

1. f(x + y) ≤ f(x) + f(yv) (удовлетворяет неравенству треугольника).
2. f(ax) = |a| f(x) (является абсолютно масштабируемой).
3. Если f(x) = 0, то x = 0 (определена положительно).

Часто, когда вы создаёте ИИ-приложение, очень важно различать элементы, равные 0, и элементы, имеющие значение, близкое к 0. Для этого используется норма L1. Она проста и растёт с одинаковой скоростью во всех точках векторного пространства.

 Если любой элемент вектора x движется от 0 к a — эта функция вырастает на a:Как упоминалось выше, в глубоком обучении параметры нейронных сетей абстрагируются как матрицы.

Следовательно, нужно знать размер матрицы, и с этим нам поможет норма Фробениуса:

Заключение

В этой статье мы затронули основы линейной алгебры, которые пригодятся, чтобы понять, что же происходит в мире нейронных сетей и искусственного интеллекта. Надеемся, эта статья поможет вам начать свой путь в этой сфере. Успехов!

Искусственный интеллект на практике: создаём экспертную систему для приготовления шашлыка

Почему линейная алгебра важна для программирования

Причины могут поразить вас.

Несмотря на то, что линейная алгебра известна во многих случаях использования (особенно в статистике), программисты могут не знать причин изучать линейную алгебру. Здесь мы расскажем, почему нужно изучать линейную алгебру для программирования.

1-Games построены по принципу линейных и матричных преобразований

Вы можете сказать, как программист: «Мне не нужно знать линейную алгебру, чтобы создать взламывающую игру. Все равно вычисления производятся на компьютерах ». В этом утверждении есть правда, хотя оно подрывает знания, необходимые для создания сложных игр. Особенно, когда ваши игровые персонажи вращаются, перемещаются из точки A в точку B, и все особенности самой игры.

2-Требуется для статистического программирования

Хотя компьютеры делают все расчеты за нас. Тем не менее, они не могут интерпретировать результаты наших расчетов, будь то статистические или математические. Вот почему нам нужно знать линейную алгебру, если мы хотим заниматься статистическим программированием. Особенно в регрессионном анализе, некоторых темах вероятности, исследовании операций, математической статистике и стохастике. При рассмотрении использования в обширной среде статистики, интерпретации результатов и их использования для принятия решений.

3-Требуется для математического программирования

Линейная алгебра известна как фундаментальная тема математики, которая используется во всех областях математики после изучения исчисления. И почти весь математический анализ требует какой-то линейной алгебры, когда дело касается преобразований, ортогональности, ортонормированности, прикладной математики и всех видов анализа, известных и доказанных научными методами.

4-Требуется для сложных математических и статистических расчетов

Мы просто смешиваем линейную алгебру с нашей жизнью, вычислениями и многими другими вещами, которые требуют сложных вычислений.

Я даже не говорю о физике, биологии, химии, инженерии, экономике, математике и статистике.

Особенно, когда мы рассматриваем реальные приложения всех этих дисциплин, линейная алгебра сама по себе очень помогает при очистке данных и позволяет формировать R в соответствии с логикой линейной алгебры.

Что вы думаете о взаимосвязи между линейной алгеброй и программированием? Поделитесь своими мыслями в разделе комментариев ниже.

Что такое линейная алгебра и зачем она нужна программистам : Backend Developer

Расскажем, какие практические задачи помогает решать линейная алгебра, и как абстрактные матрицы и линейные пространства могут пригодиться в разработке реального софта.

Линейная алгебра – это раздел математики, посвященный изучению систем линейных уравнений, линейных отображений и векторных пространств. Главные инструменты линейной алгебры – матрицы, детерминанты и двойственные пространства.

Матрицы и детерминанты (определители) используются в линейной алгебре для решения систем линейных уравнений и выполнения операций с векторами. Они также играют важную роль в теории линейных отображений, в изучении свойств векторных пространств и подпространств.

Двойственные пространства – еще одно важное понятие в линейной алгебре. Они представляют собой множество линейных функционалов, которые могут быть использованы для описания свойств векторных пространств.

Линейная алгебра располагает широким спектром методов, которые помогают:

• обрабатывать и анализировать большие объемы данных;
• разрабатывать эффективные алгоритмы шифрования;
• создавать реалистичную графику;
• распознавать образы;
• моделировать любые объекты, события, системы;
• прогнозировать события на основе данных из прошлого;
• оптимизировать различные системы и механизмы.

Благодаря этому линейная алгебра стала важным математическим инструментом в самых разных сферах – от экономики, физики, биологии и инженерии до разработки игр и машинного обучения. Рассмотрим подробнее некоторые способы применения линейной алгебры в разработке прикладного ПО.

1. Линейная алгебра в анализе данных и машинном обучение

Инструментарий линейной алгебры позволяет производить различные операции с данными, включая нахождение зависимостей между переменными, снижение размерности данных, кластерный анализ и обработку изображений. В машинном обучении матричные операции используются в алгоритмах классификации, регрессии и кластеризации.

Линейная регрессия

Линейная регрессия – этот метод применяют для анализа связи между двумя переменными. Линейная регрессия использует матричные операции для нахождения линейной зависимости между переменными и предсказания значений одной переменной на основании другой.

Логистическая регрессия

Логистическая регрессия – при построении модели применяют метод наименьших квадратов, а при использовании метода максимального правдоподобия используют матричное умножение и обратную матрицу для нахождения оптимальных значений параметров. Кроме того, линейную алгебру используют для вычисления градиента функции потерь и для обновления параметров модели в процессе обучения.

Метод главных компонент

Метод главных компонент – используют для снижения размерности данных. С помощью матричных операций находят линейные комбинации переменных, которые максимально сохраняют информацию в данных. Это позволяет уменьшить размерность данных и упростить их анализ.

Кластерный анализ

Кластерный анализ –метод, который позволяет группировать данные по сходству. Здесь линейная алгебра используется для вычисления расстояний между объектами и для нахождения кластеров, которые максимально отличаются друг от друга.

Нейронные сети

Нейронные сети – при создании и оптимизации моделей линейную алгебру используют для вычисления весов и смещений нейронов, а в процессе обучения применяют для нахождения ошибок.

Сверточные нейронные сети

Сверточные нейронные сети – здесь линейную алгебру применяют для обработки изображений и нахождения признаков, которые используются для классификации и распознавания объектов.

Метод опорных векторов

Метод опорных векторов – применяется для нахождения границы, которая разделяет два класса. Метод используют для распознавания образов, определения категории объекта и других задач классификации.

Линейный дискриминантный анализ

Линейный дискриминантный анализ – используется для нахождения наилучших линейных комбинаций переменных, способных разделить две или более категории (группы). Применяется в машинном обучении для классификации данных.

2. Линейная алгебра в разработке игр

Линейная алгебра – один из важнейших инструментов в геймдеве: ее применение простирается от 3D-графики и физического моделирования до анимации и искусственного интеллекта.

3D-графика

3D-графика – линейная алгебра используется для описания и трансформации объектов в 3D-пространстве. Она помогает определять расположение и ориентацию объектов в пространстве, настраивать камеры и источники света, а также выполнять преобразования объектов – масштабирование, поворот и перемещение.

Физическое моделирование

Физическое моделирование – здесь линейная алгебра помогает реалистично имитировать поведение объектов. Например, линейная алгебра используется для:

• определения траектории движения объектов с учетом их массы, воздействующих на них сил и ускорения;
• расчета столкновений;
• реалистичной имитации воды, снега, ветра, тумана и т. п.

Анимация

Анимация – линейная алгебра помогает определить позицию и ориентацию объектов в различных кадрах анимации, а также обеспечивает расчет естественных кривых движения объектов. Это позволяет реалистично анимировать персонажей, определять направления движения камеры и создавать визуальные эффекты.

3. Линейная алгебра и искусственный интеллект

Искусственный интеллект – линейная алгебра задействована в обработке и анализе данных, которые используются в алгоритмах ИИ. Такие алгоритмы могут определять поведение противников, создавать новые маршруты и препятствия, планировать оптимальную стратегию кампаний.

4. Линейная алгебра в квантовых вычислениях

Линейная алгебра – стандартный язык квантовых вычислений. Это связано с тем, что квантовая механика описывает состояния квантовых систем как векторы в линейном гильбертовом пространстве.

Квантовые алгоритмы используют линейную алгебру для работы с квантовыми состояниями, обработки данных и для решения вычислительных задач. В частности, операции над квантовыми состояниями, которые описывают взаимодействие квантовых систем, выражаются в виде линейных операторов (унитарных матриц) на гильбертовых пространствах.

Квантовые вычисления основаны на использовании квантовых вентилей, которые являются линейными операторами и применяются к кубитам (аналог битов в классических вычислениях).

Они обычно представляются матрицами, которые описывают различные квантовые вентили – преобразование Адамара, фазовый сдвиг, вентиль Паули Y и т. д.

Эти вентили находят применение в алгоритмах квантового преобразования Фурье, квантового поиска Гровера, квантового распределения ключей и других.

Кроме того, линейная алгебра используется для работы с квантовыми каналами, которые описывают передачу квантовых состояний через канал с шумом, а также для решения задач квантовой оптимизации, где задача оптимизации представляется в виде минимизации или максимизации квантовой линейной функции, которая выражается в виде линейной комбинации квантовых вентилей и операторов.

5. Линейная алгебра в пакетах для 3D-моделирования

Линейная алгебра широко используется при создании ПО для 3D моделирования (ZBrush, 3ds Max, Blender, Maya и другие).

Математическая обработка – с помощью линейной алгебры можно создавать математические модели любых объектов. Это позволяет выполнять все необходимые расчеты – вычисление объема и площади моделей, ее поверхности, распределения масс и т. д.

Трансформация объектов – линейная алгебра используется для преобразования трехмерных объектов, перемещения, масштабирования и поворота моделей. Это делается с помощью матриц, которые содержат информацию об изменении расположения, размера и ориентации модели.

Освещение и тени – методы линейной алгебры применяют для расчета световых эффектов и теней на 3D моделях. Это включает в себя расчет направления света, расстояния до объектов, определение позиций объектов в трехмерном пространстве.

Анимация объектов – в процессе анимации линейная алгебра помогает реализовать движение объекта и камеры, изменение формы или текстуры, направление света, переключение между сценами.

Нормализация поверхности – для настройки и нормализации поверхности 3D модели используется линейная алгебра. Это позволяет создавать более реалистичные текстуры и поверхности в моделях.

Расчет коллизий – линейная алгебра позволяет реализовать физически корректные столкновения и механику – движение и взаимодействие объектов.

6. Как использовать методы линейной алгебры, не вдаваясь в детали

Если уровень математической подготовки разработчика оставляет желать лучшего, на помощь придут специальные библиотеки. Для большинства общих инженерных, научных и экономических задач достаточно функциональности этих библиотек:

• NumPy – предоставляет инструменты для работы с многомерными массивами. Обеспечивает обширную поддержку методов линейной алгебры, включая операции над векторами и матрицами, вычисление собственных значений и собственных векторов. Кроме того, выполняет операции над тензорами.
• SciPy – надстройка над NumPy. Предоставляет множество специализированных функций, включая решение систем линейных уравнений, операции над векторами и матрицами, сингулярное разложение и метод наименьших квадратов.
• SymPy – обеспечивает поддержку широкого спектра операций, включая операции над матрицами и векторами, а также исследование свойств матриц (например, вычисление определителей, обратных матриц и т. д.).
• Pandas – предназначена для обработки и анализа данных. Ее также можно использовать для работы с матрицами и векторами, особенно если данные представлены в виде таблиц или датафреймов.

Для целей Data Science и машинного обучения используют более сложные библиотеки:

• TensorFlow – позволяет создавать и обучать модели машинного обучения. Библиотека обеспечивает поддержку многомерных массивов и обширный набор операций линейной алгебры, включая перемножение матриц, вычисление детерминанта, собственных значений и собственных векторов, а также разложений матриц (QR-разложение, сингулярное разложение и т. д.). TensorFlow имеет высокую производительность благодаря выполнению расчетов на GPU.
• PyTorch – предоставляет множество инструментов для создания и обучения нейронных сетей. Она также обладает широким спектром функций линейной алгебры, аналогичных TensorFlow, включая перемножение матриц, вычисление детерминанта, решение систем линейных уравнений и разложение матриц.
• CuPy – обеспечивает поддержку матричных операций, вычисление определителя, собственных значений и собственных векторов, а также разложения матриц.

У каждой из этих библиотек есть свои преимущества – важно понимать, какие операции линейной алгебры необходимы для конкретного проекта, и какая библиотека обеспечит нужный баланс функциональности и производительности.

7. Что почитать по линейной алгебре

«Математические алгоритмы для программистов: 3D-графика, машинное обучение и моделирование на Python», Пол Орланд

Эта книга – отличное введение в использование линейной алгебры (и математического анализа) в программировании. Автор очень подробно и доступно описывает математические концепции, необходимые для понимания линейной алгебры.

Благодаря последовательному и продуманному порядку изложения материала книга пригодится любому разработчику, независимо от уровня математической подготовки.

Самый большой плюс книги – практическая составляющая: в ней множество упражнений и примеров кода на Python, которые позволяют читателю быстро разобраться в различных алгоритмах.

Скидка 25% по промокоду Proglib

«Линейная алгебра и ее применения», Гилберт Стренг

Стрэнг написал множество книг по практическому применению линейной алгебры и математического анализа, но, к сожалению, на русском был издан только один учебник.

Книга отличается широким охватом тем – здесь рассматриваются все основные теоремы и методы решения задач линейной алгебры. Кроме того, в книге есть и дополнительные главы, посвященные спектральным теоремам, ортогональности, симметричным матрицам.

Преимущество книги – доступный стиль изложения, который позволяет читателю с начальным уровнем подготовки вникнуть в сложные концепции.

«Высшая математика. Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия», Н. С. Коваленко, Т. С. Чепелева

Это объемное учебное пособие охватывает большой спектр тем, связанных с линейной алгеброй – операции над матрицами, теоремы о матрицах, разнообразные методы решения систем линейных уравнений. Главное достоинство книги – множество экономических и инженерных задач, основанных на примерах из реальной жизни.

Самостоятельное изучение основных концепций линейной алгебры может быть сложной задачей для разработчиков, не имеющих фундаментальной математической подготовки.

И хотя с правильным подходом, хорошими учебниками и достаточным количеством времени и усилий линейную алгебру реально освоить самостоятельно, есть более практичный вариант – курс Библиотеки программиста «Математика для Data Science».

Интересно, хочу попробовать